Unterrichtsinhalte im Fach Mathematik –
Oberstufe

Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen

• Bevölkerungswachstum,
• stetige Verzinsung,
• radioaktiver Zerfall

werden die bereits bekannten Wachstumsmodelle – lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum – durch das Modell des logistischen Wachstums ergänzt. Der Vergleich und die Interpretation verschiedener Modelle eines Wachstumsprozesses lassen sich besonders einfach mit der Exponentialfunktion zur Basis e durchführen. Die e-Funktion ermöglicht eine funktionale Beschreibung des logistischen Wachstums.

Durch Verknüpfung der e-Funktion mit ganzrationalen Funktionen werden Möglichkeiten geschaffen, Wachstum auf vielfältige Art zu modellieren.

Im erhöhten Anforderungsniveau werden an geeigneten Beispielen aus dem Bereich Wachstum die Zusammenhänge zwischen den entsprechenden Funktionen und ihren Ableitungsfunktionen aufgezeigt und interpretiert, wie sie sich in den dazugehörigen Differenzialgleichungen widerspiegeln.

• Begrenztes und logistisches Wachstum
• e-Funktion
• Verknüpfungen / Verkettung mit ganzrationalen Funktionen
• Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
• Bedeutung des Wendepunktes und des Krümmungsverhaltens
• Asymptotisches Verhalten
• Definitionsbereich
• Angleichung an Daten durch Parametervariation

• Differenzialgleichungen ohne Lösungsverfahren
• Funktionenscharen

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Arbeiten mit Daten, Darstellung von Punkten durch Datenplots und Regression
• Bestimmen von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten
• Grafische Darstellung der Ableitungsfunktion
• Lösen linearer Gleichungssysteme
• Bestimmen von Grenzwerten und algebraische Untersuchung von Scharen (CAS)
• Bestimmen der Ableitungsfunktionen (CAS)

Ausgehend von realitätsbezogenen Problemstellungen aus den Bereichen

• Zu- und Ablauf (Talsperre, Verkehrsströme),
• Geschwindigkeit – Weg, Fahrtenschreiber

wird eine Grundvorstellung vom Integralbegriff entwickelt. Das Integral wird als aus Änderungen rekonstruierter Bestand gedeutet, der über die Addition von Produkten u. a. zum Flächeninhalt führt. Anhand der grafischen Darstellung von Änderung und Bestand werden die Zusammenhänge entdeckt und argumentativ erklärt. Dabei wird der Bezug zum Vorwissen aus der Differenzialrechnung im Sinne von Rückwärtsarbeiten hergestellt und für die Mathematisierung genutzt.

Die Berechnung von Integralen wird anhand ganzrationaler Funktionen entwickelt und mithilfe der eingeführten Technologie auf weitere Funktionen ausgedehnt.

Im erhöhten Anforderungsniveau erfolgt neben einer formalen Betrachtung der Zusammenhänge und einer Präzisierung der Begriffe auch die Behandlung von Volumen von Rotationskörpern und Grenzwerten von Beständen und Flächeninhalten.

• Integralbegriff
• Rekonstruktion von Beständen
• Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren
• Stammfunktionen spezieller Funktionen
• Summen- und Faktorregel
• Unbestimmte Integrale
• Rechengesetze für bestimmte Integrale
• Inhalte begrenzter Flächen

• Geometrische Begründung des Hauptsatzes
• Uneigentliche Integrale
• Volumen von Rotationskörpern

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Arbeiten mit Daten, Darstellung von Punkten durch Datenplots und Regression
• Ermitteln bestimmter Integrale und Flächeninhalte
• Ermitteln von Stammfunktionen (CAS)

Ausgehend von Problemstellungen aus dem Bereich der Materialverflechtung werden mehrstufige Prozesse durch Darstellung in Matrizenform strukturiert. In diesem Zusammenhang werden die Rechengesetze für Matrizen einschließlich inverser Matrizen behandelt. Die Behandlung von Problemen zum Käufer- und Wahlverhalten eröffnet eine weitere Sichtweise auf Matrizen, indem sich wiederholende Prozesse hinsichtlich einer Langzeitprognose analysiert werden.

Auf erhöhtem Anforderungsniveau führen Anwendungen aus dem Bereich der Populationsentwicklung auch zur Betrachtung zyklischer Prozesse.

• Matrizen und Prozessdiagramme zur strukturierten Darstellung von Daten
• Rechengesetze für Matrizen, auch inverse Matrizen
• Grenzmatrix und Fixvektor im Sachzusammenhang mit Käufer- und Wahlverhalten

• Populationsentwicklung
• Zyklische Prozesse

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Bestimmen der Lösungsmenge sowohl eindeutig als auch nicht eindeutig lösbarer LGS
• Operationen mit Matrizen

Ausgehend von der zeichnerischen Darstellung von Körpern werden der Nutzen und die Bedeutung des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems für die Orientierung im Raum erkannt.

Durch die Einführung des Vektorbegriffs werden geometrische Zusammenhänge algebraisiert. Dabei besitzen die Parameterformen von Geraden- und Ebenengleichungen eine grundlegende Bedeutung bei der Untersuchung von Lagebeziehungen und der Bestimmung von Schnittmengen.

Das Skalarprodukt und seine geometrische Deutung ermöglichen metrische Betrachtungen und Berechnungen.

• Punkte im Raum
• Darstellungen im kartesischen Koordinatensystem / Schrägbilder
• Vektoren im Anschauungsraum
• Rechengesetze für Vektoren, Kollinearität zweier Vektoren
• Parametergleichungen von Gerade und Ebene
• Lagebeziehungen und Schnittpunkte
• Skalarprodukt
• Längen von Strecken und Größen von Winkeln zwischen Vektoren

• Schnittmengen von Ebenen

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Bestimmen der Lösungsmenge sowohl eindeutig als auch nicht eindeutig lösbarer LGS aus dem Bereich der analytischen Geometrie
• Bestimmen des Skalarproduktes je nach Möglichkeiten des Rechners

Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen

• Trassierung,
• Biegelinien

werden ganzrationale Funktionen zu vorgegebenen Datenpunkten und / oder Eigenschaften bestimmt.

Bei Modellierungen mit abschnittsweise definierten Funktionen sind darüber hinaus an den Übergängen Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Übereinstimmung der zweiten Ableitungen als Bedingungen zu nutzen und im Kontext zu interpretieren. Die Zugänge zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden auf intuitivem Weg gefunden. Durch Regression gewonnene Funktionen werden zum Vergleich herangezogen.

Je nach Anordnung der Lernbereiche kann bei der Beurteilung verschiedener Modellierungen auch ein Flächeninhaltsvergleich als Kriterium herangezogen werden.

• Bestimmung von Funktionen aus gegebenen Eigenschaften
• Gauss-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit
• Abschnittsweise definierte Funktionen
• Funktionenscharen

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Darstellung von Punkten durch Datenplots und Regression
• Bestimmen von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten
• Grafische Darstellung der Ableitungsfunktion
• Lösen linearer Gleichungssysteme
• Algebraische Untersuchung von Scharen (CAS)
• Bestimmen der Ableitungsfunktionen (CAS)

Ausgehend von Daten zu Sachkontexten – wie z. B. Lebenserwartung von Männern und Frauen, Reaktionstest – werden zu deren Vergleich als Kenngrößen das arithmetische Mittel und die empirische Standardabweichung sn erarbeitet. Dabei sind die Darstellung der Daten in einem Histogramm und der Einsatz der eingeführten Technologie wichtige Hilfsmittel.

• Histogramm
• Standardabweichung

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Arbeiten mit Daten
• Darstellen von Daten durch Datenplots und Histogramme
• Bestimmen von arithmetischem Mittel und Standardabweichung (CAS)

Ausgehend von Zufallsexperimenten werden Möglichkeiten zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten betrachtet. Durch Zufallsgrößen werden Ergebnismengen strukturiert. Die bekannten Kenngrößen für Häufigkeitsverteilungen werden aufgegriffen, auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen übertragen und führen zum Erwartungswert μ und zur Standardabweichung σ.

Die Bernoulli-Kette dient als ein Modell zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Umgekehrt lassen sich zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit nur von σ abhängige Umgebungen um den Erwartungswert bestimmen.

Im erhöhten Anforderungsniveau werden diskrete von stetigen Zufallsgrößen abgegrenzt und die Normalverteilung als ein Beispiel für eine stetige Verteilung verwendet.

• Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge
• Zufallsgröße
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Erwartungswert und Standardabweichung
• Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
• σ -Umgebungen

• Stetige Zufallsgrößen
• Normalverteilung

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Berechnen von Fakultäten und Binomialkoeffizienten
• Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung und der Normalverteilung
• Bestimmen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen und Normalverteilungen
• Grafische Darstellungen von Verteilungen

Ausgehend von Stichproben wird das Modell der Bernoulli-Kette genutzt, um für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit Vertrauensintervalle zu bestimmen.

Während im grundlegenden Anforderungsniveau konkrete Vertrauenswahrscheinlichkeiten (90 %, 95 %, 99 %) vorgegeben sind, erfolgt im erhöhten Anforderungsniveau mithilfe der Normalverteilung eine Bestimmung für beliebige Vertrauenswahrscheinlichkeiten.

• Grundgesamtheit
• Repräsentative Stichprobe
• Bestimmung von Schätzwerten für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit

• Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten

• Vertrauensintervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten

Hinweise zum Technologieeinsatz:

• Bestimmen von arithmetischem Mittel und Standardabweichung
• Bestimmen von Vertrauensintervallen je nach Möglichkeiten des Rechners